ANÁLISIS ESTADÍSTICO

COMO USAR UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Se usa  cuando el estudio requiera describir aspectos o características de la realidad de modo local o global pero que la descripción de estas características no sean típicas de un solo elemento de la población sino que lo sean de la población misma.

En otras palabras se requiere de un estudio estadístico cuando el fenómeno que se evalúa se presenta con regularidad de modo que el uso de las frecuencias o repetición de la aparición de las características sea esencial para el diagnóstico de esa realidad local o global

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LA MEDICIONES

La aplicación de la física, ya sea en la industria o en el laboratorio, requiere siempre de algún tipo de mediciones.
En el proceso de realizar mediciones físicas, con frecuencia hay interés tanto en la dirección como en la magnitud de una cantidad en particular.

Cantidades físicas
Los hechos y las leyes deben expresarse de una manera precisa y consistente, de manera que un termino determinado signifique exactamente lo mismo para todos.
La magnitud de una cantidad física
Se define con un numero y una unidad de medida. Ambos son necesarios porque, por sí solos, el numero o la unidad carecen de significado. Con excepción de los números y fracciones puros, se requiere indicar la unidad junto con el número cuando se expresa la magnitud de cualquier cantidad.

Media aritmética o promedio

  Llamando xl, ..., xk a los datos distintos de un carácter en estudio, o las marcas de clase de los intervalos en los que se han agrupado dichos datos, y ni,..., nk a las correspondientes frecuencias absolutas de dichos valores o marcas de clase, llamaremos media aritmética de la distribución de frecuencias a

en donde n es la frecuencia total.

Mediana

  La mediana es otra medida de posición, la cual se define como aquel valor de la variable tal que, supuestos ordenados los valores de ésta en orden creciente, la mitad son menores o iguales y la otra mitad mayores o iguales

Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.

Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Cifras significativas

El grado de incertidumbre de una medida está incluido en la forma en que expresamos la misma. Cuando medimos sólo podemos obtener cierto número de dígitos. Cuando realizamos un cálculo matemático con esta medida, el error o incertidumbre se propaga y aumenta. Entonces, ¿Cuántos lugares decimales debemos utilizar al expresar una medida? Para contestar esta pregunta haremos referencia a las cifras significativas.

Las cifras significativas o dígitos significativos en una medida experimental incluyen todos los números que pueden ser leídos de la escala más un número estimado. Por ejemplo. Si utilizamos un metro para medir la longitud de un objeto podemos decir que la medida es 0.9345 metros. Los primeros tres dígitos a la derecha del punto decimal fueron leídos de la escala. Por otro lado el cinco es el número estimado.

1.  El número de cifras significativas incluidas en un resultado se puede determinar de la siguiente manera:

2.  El dígito más a la izquierda, distinto de cero, es el más significativo. Por ejemplo: el uno en 106.9 y el siete en 0.0073 son los más significativos.

3.  Si no hay punto decimal, el dígito distinto de cero más a la derecha, es el menos significativo. Por ejemplo el cuatro en 240 es el menos significativo.

4.  Si hay un punto decimal, el dígito más a la derecha aun cuando sea cero es el menos significativo.

5.   Todos los dígitos entre el más significativo y el menos significativo, se consideran significativos.

PUENTES DE MEDICION

1.    PUENTE DE WHEATSTONE

Un puente de Wheatstone Se utiliza para medir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente. Estos están constituidos por cuatro resistencias que forman un circuito cerrado, siendo una de ellas la resistencia bajo medida.

Descripción

Disposición del Puente de Wheatstone.

La Figura  muestra la disposición eléctrica del circuito y la Figura 2 corresponde a la imagen real de un puente de Wheatstone típico.

En la Figura anterior  vemos que, R_x es la resistencia cuyo valor queremos determinar, R₁, R₂ y R₃ son resistencias de valores conocidos, además la resistencia R₂ es ajustable. Si la relación de las dos resistencias del brazo conocido (R₁/R₂) es igual a la relación de las dos del brazo desconocido (R_x/R₃), el voltaje entre los dos puntos medios será nulo y por tanto no circulará corriente alguna entre esos dos puntos C y B.

Para efectuar la medida lo que se hace es variar la resistencia R₂ hasta alcanzar el punto de equilibrio. La detección de corriente nula se puede hacer con gran precisión mediante el voltímetro V.

La dirección de la corriente, en caso de desequilibrio, indica si R₂ es demasiado alta o demasiado baja. El valor de la F.E.M. (E) del generador es indiferente y no afecta a la medida.

Imagen de un Puente de Wheatstone típico.

Cuando el puente esta construido de forma que R₃ es igual a R₂, R_x es igual a R₁ en condición de equilibrio.(corriente nula por el galvanómetro).

Asimismo, en condición de equilibrio siempre se cumple que:

Rx=(R1*R3)/R2

Si los valores de R₁, R₂ y R₃ se conocen con mucha precisión, el valor de R_x puede ser determinado igualmente con precisión. Pequeños cambios en el valor de R_x romperán el equilibrio y serán claramente detectados por la indicación del galvanómetro.

De forma alternativa, si los valores de R₁, R₂ y R₃ son conocidos y R₂ no es ajustable, la corriente que fluye a través del galvanómetro puede ser utilizada para calcular el valor de R_x siendo este procedimiento más rápido que el ajustar a cero la corriente a través del medidor.

Variantes

Variantes del puente de Wheatstone se pueden utilizar para la medida de impedancias, capacitancias e inductancias

La disposición en puente también es ampliamente utilizada en instrumentación electrónica. Para ello, se sustituyen una o más resistencias por sensores, que al variar su resistencia dan lugar a una salida proporcional a la variación. A la salida del puente (en la Figura 1, donde está el galvanómetro) suele colocarse un amplificador .

   Puente de Maxwell

El puente Maxwell (o puente Maxwell-Wien) es un circuito electrónico parecido al puente de Wheatstone más básico, con solo resistencias. Este puente es utilizado para medir inductancia (conbajo factor Q).

Siguiendo las referencias de la imagen, R1 y R4 son resistencias fijas y conocidas. R2 y C2 son variables y sus valores finales serán los que equilibren el puente y servirán para calcular la inductancia. R3 y L3 serán calculados según el valor de los otros componentes:

R3=(R1*R4)/R2

L3=R1*R4*C2

Para evitar las dificultades al precisar el valor del condensador variable, este se puede sustituir por uno fijo y colocar en serie una o más resistencias variables.

La complejidad adicional de usar un puente Maxwell sobre otros más simples se justifica donde hay inductancia mutua o interferencia electromagnética. Cuando el puente esté en equilibrio la reactancia capacitiva será igual a la reactancia inductiva, pudiéndose determinar la resistencia e inductanca de la carga 

  OSCILADOR DE PUENTE DE WIEN

En electrónica un oscilador de puente de Wien es un tipo de oscilador que genera ondas sinusoidales sin necesidad de ninguna señal de entrada. Puede generar un amplio rango de frecuencias. El puente está compuesto de cuatro resistencias y dos condensadores. El circuito está basado en un puente originalmente desarrollado por Max Wien en1891. El circuito moderno está derivado de la tesis final de William Hewlett, para obtener el máster en la Universidad de Stanford. Hewlett, junto con David Packard fundaron la empresa Hewlett-Packard. Su primer producto fue el HP 200A, un oscilador de ondas sinusoidales de precisión basado en el puente de Wien. El 200A se convirtió en un instrumento electrónico clásico conocido por su baja distorsión.

La frecuencia de oscilación está dada por:

F=1/(2*PI*R*C)

Estabilización de amplitud

La clave del oscilador de baja distorsión de Hewlett es una efectiva estabilización de amplitud. La amplitud de los osciladores electrónicos tienden a aumentar hasta que la señal es recortada o se alcanza alguna limitación de ganancia. Esto lleva a una distorsión de los armónicos de frecuencias altas, lo que en la mayoría de los casos es un efecto indeseado.

Hewlett usó una lámpara incandescente en la realimentación del oscilador para limitar la ganancia. La resistencia de las lámparas incandescentes (así como otros elementos similares que producen calor) aumenta a medida que su temperatura aumenta. Si la frecuencia de oscilación es significativamente superior que la constante térmica del elemento que produce calor, la potencia irradiada será proporcional a la potencia del oscilador. Debido a que los elementos que producen calor son cuerpos negros, estos siguen la Ley de Stefan-Boltzmann. La potencia irradiada es proporcional a T^4, por lo que la resistencia aumenta a una mayor proporción que la amplitud de la señal. Si la ganancia es inversamente proporcional a la amplitud de la oscilación, la ganancia del oscilador alcanza un estado estable en dónde opera como un amplificador de clase A casi ideal, logrando de esta manera una baja distorsión.

Condición de oscilación

La relación entre la resistencia de realimentación y la resistencia de entrada es:

donde Ad es la ganancia del operacional, Rf es la resistencia de realimentación y Ri es la resistencia de entrada.

Las ecuaciones básicas para obtener estas especificaciones son:

asando todas estas ecuaciones al dominio de la transformada de Laplace se obtiene

y por tanto la condición de oscilación es:

Análisis de la impedancia de entrada

 Análisis de la impedancia de entrada.

Si se aplica una tensión directamente en la entrada de un amplificador ideal con realimentación, la corrientede entrada será:

Donde Vin es la tensión de entrada, Vout es la tensión de salida, y Zf es la impedancia de realimentación. Si definimos la ganancia de voltaje como:

Y la admitancia de entrada se define como:

La admitancia de entrada puede ser redefinida como:

Para el puente de Wien, Z_f está dada por:

Substituyendo y resolviendo:

Si Av es mayor a 1, la admitancia de entrada es una resistencia negativa (NDR) en paralelo con una inductancia. La inductancia es:

Si se coloca un condensador con el mismo valor de C en paralelo con la entrada, el circuito tiene una resonancia natural a:

Substituyendo y resolviendo para la inductancia:

Si necesita un Av con un valor de 3:

Substituyendo:

O también:

Similarmente, la resistencia de entrada a la frecuencia determinada arriba es:

Para Av = 3:

.

1.    PUENTE DE HAY    
Se utiliza para la determinación de de la inductancia y resistencia de inductores y se utiliza, sobre todo,   para aquellos que tienen un factor Q elevado es decir mayor que 10, El puente difiere del puente de Maxwell en que tiene una resistencia variable en serie con el condensador en lugar de de en paralelo, escribiendo cada impedancia en notación compleja, se obtiene:
Z1=R1+1jwc1=R1+jwc1
Las resistencias puras Z2=R2 y Z3=R3 Z4=R4-jwL4

Asi pues el equilibrio de impedancias, debemos tener:      
Z1Z2=Z3Z4
Z4=Z2Z3Z1
R4+jwL4=R2R3R1/wC1
R4R1+ L4C1+jwL4R1-jR4wC1=R2R3       
Igualando términos reales:   
R4R1+ L4C1=R2R3 
Igualando los términos imaginarios: 
wL4R1= R4wC1       
En esta expresión despejamos L4 y reemplazamos en la ecuación anterior
R4=w2R1R2R3C121+w2R12C12
Ecuación A    
Entonces:
L4=R2R3C1 1+w2R12C12  
Ecuación B    
El factor Q es:           
Q=wL4R4=wR2R3w2R1R2R3C12=1wR1C1        
Las ecuaciones A y B pueden utilizarse, por tanto, para obtener los valores de R4 y L4, sin embargo, contienen el término de la frecuencia y, así, es necesario tener un valor preciso de esta cantidad. Sin embargo, si el puente se utiliza para inductores con Q altos, las expresiones se pueden simplificar.
L4=R2R3C1 1+(1Q2)           
Cuando Q es mayor que 10 el termino 1/Q2 se vuelve insignificante.

2.    Puente Kelvin.

El puente Kelvin es una modificación del Wheatstone y proporciona un gran incremento en la exactitud de las mediciones de resistencas de valor bajo, y por lo general inferiores a 1 ohm. Considérese el circuito puente de la figura  donde R_y representa la resistencia del alambre de conexión de R₃ a R_x . Son posibles dos conexiones del galvanómetro, en el punto m ò en el punto n. Cuando el galvanometro se conecta en el punto m, la resistencia R_y del alambre de conexión se suma a la desconocida R_x, resultando una indicación por arriba de R_x. Cuando la conexión se hace en el punto n, R_y se suma a la rama del puente R₃ y el resultado de la mediciòn de R_x será menor que el que deberìa ser, porque el valor real de R₃ es más alto que su valor nominal debido a la resistencia R_y. Si el galvanómetro se conecta en el punto p, entre m y n, de tal forma

que la razón de la resistencia de n a p y m a p iguale la razón de los  resistores R₁ y R₂, entonces. 

Puente Doble Kelvin

El termino puente doble se usa debido a que el circuito contiene un segundo juego de tramas de relación figura 5-5. Este segundo conjunto de ramas, marcadas a y b en el diagrama, se conectan al galvanómetro en el punto p con el potencial apropiado entre m y n, lo que elimina el efecto de la resistencia Ry. Una condición establecida inicialmente es que la relación de la resistencia de a y b debe ser la misma que la relación de R₁ y R₂.
La indicación del galvanómetro sera cero cuando el potencial en k sea igual al potencial en p, o cuando E_kl = E_imp, donde